Aquí tenemos las operaciones básicas con expresiones algebraicas: suma, resta, multiplicación y división. Usaremos ejemplos para que quede más claro.
1. Suma de expresiones algebraicas
Para sumar expresiones algebraicas, se suman los términos semejantes (aquellos que tienen la misma parte literal, es decir, las mismas variables con los mismos exponentes).
Ejemplo:
Sumar (3x^2 + 2x - 5) + (x^2 - 4x + 7)
Agrupamos términos semejantes:
(3x^2 + x^2) + (2x - 4x) + (-5 + 7)
= 4x^2 - 2x + 2
Si hay más de dos expresiones, se procede de la misma forma.
2. Resta de expresiones algebraicas
La resta se convierte en suma del opuesto del sustraendo. Es decir, se cambia el signo de cada término de la expresión que se resta y luego se suman los términos semejantes.
Ejemplo:
Restar (5a^2 - 3a + 2) - (2a^2 + a - 4)
Escribimos el opuesto:
5a^2 - 3a + 2 - 2a^2 - a + 4
Ahora sumamos semejantes:
(5a^2 - 2a^2) + (-3a - a) + (2 + 4)
= 3a^2 - 4a + 6
3. Multiplicación de expresiones algebraicas
Se aplica la propiedad distributiva y las reglas de potenciación (producto de potencias de igual base: se suman los exponentes).
a) Multiplicación de un monomio por un polinomio
Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.
Ejemplo:
2x \cdot (3x^2 - 4x + 5) = 2x \cdot 3x^2 + 2x \cdot (-4x) + 2x \cdot 5
= 6x^3 - 8x^2 + 10x
b) Multiplicación de polinomios
Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo y luego se suman los términos semejantes.
Ejemplo:
(x + 2)(x^2 - 3x + 1)
= x \cdot x^2 + x \cdot (-3x) + x \cdot 1 + 2 \cdot x^2 + 2 \cdot (-3x) + 2 \cdot 1
= x^3 - 3x^2 + x + 2x^2 - 6x + 2
= x^3 - x^2 - 5x + 2
4. División de expresiones algebraicas
La división puede ser entre monomios o entre un polinomio y un monomio, o entre polinomios (división larga).
a) División de monomios
Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las variables iguales (ley de potencias: \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} ).
Ejemplo:
\frac{8x^5y^3}{2x^2y} = \frac{8}{2} x^{5-2} y^{3-1} = 4x^3y^2
b) División de un polinomio entre un monomio
Se divide cada término del polinomio por el monomio.
Ejemplo:
\frac{6x^4 - 9x^3 + 3x^2}{3x^2} = \frac{6x^4}{3x^2} - \frac{9x^3}{3x^2} + \frac{3x^2}{3x^2} = 2x^2 - 3x + 1
c) División de polinomios (división larga)
Se usa un proceso similar a la división numérica. Se ordenan los polinomios, se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, se multiplica y se resta, y se repite hasta obtener un resto de grado menor que el divisor.
Ejemplo:
Dividir x^3 - 2x^2 + 0x + 4 entre x - 2
1. x^3 / x = x^2 → multiplicamos: x^2(x - 2) = x^3 - 2x^2 → restamos: (x^3 - 2x^2) - (x^3 - 2x^2) = 0 . Bajamos 0x + 4 .
2. 0x / x = 0 → multiplicamos: 0 \cdot (x - 2) = 0 → restamos: (0x + 4) - 0 = 4 .
Resultado: cociente x^2 + 0x = x^2 , resto 4 .
Entonces: \frac{x^3 - 2x^2 + 4}{x - 2} = x^2 + \frac{4}{x - 2} .
Resumen de propiedades importantes
· Términos semejantes: solo se pueden sumar o restar si tienen exactamente la misma parte literal.
· Producto de potencias: a^m \cdot a^n = a^{m+n}
· Cociente de potencias: \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} (con a \neq 0 )
· Distributiva: a(b+c) = ab + ac
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