18.2 A qué se le llama Expresiones Algebraicas

Se le llama Expresión Algebraica a una combinación de números y letras (llamadas variables o incógnitas) relacionados mediante operaciones aritméticas como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación.

En esencia, es una forma de representar cantidades de manera general usando símbolos, lo que nos permite escribir fórmulas y reglas que se aplican a muchos casos diferentes. Piensa en ellas como el "lenguaje" del álgebra.

Componentes de una Expresión Algebraica

Toma como ejemplo la expresión: 3x² + 5x - 2

Componente Definición Ejemplo en 3x² + 5x - 2

Variable/Incógnita Símbolo (generalmente una letra) que representa una cantidad desconocida o que puede variar. x

Constante Un número fijo con un valor definido. -2

Coeficiente El número que multiplica a la variable. En 3x², el coeficiente es 3. En 5x, es 5.

Término Cada uno de los sumandos que forman la expresión. Un término puede ser una constante, una variable o un producto de ambas. 3x², 5x y -2

Exponente Número que indica cuántas veces se multiplica la variable por sí misma. En x², el exponente es 2.

Características Clave

· No tiene un signo de igualdad (=). Esta es la principal diferencia con una ecuación. Una expresión algebraica se puede evaluar o simplificar, pero no se "resuelve".

· Las letras más comunes usadas como variables son x, y, z, a, b, c.

Ejemplos de Expresiones Algebraicas

· Simples: 2x + 1, 5y, a - 4b

· Complejas: (3x² - 5xy + 7) / (2y), √(a + b) - 8c³

¿Qué NO es una expresión algebraica?

· 5x + 2 = 10 (Esto es una ecuación, porque tiene un signo de igualdad).

· x < 7 (Esto es una desigualdad o inecuación).

· Hola + 2 (No tiene sentido en álgebra, ya que "Hola" no es un número ni una variable).

Tipos de Expresiones Algebraicas (Clasificación por número de términos)

1. Monomio: Expresión con un solo término.

   · Ejemplos: 7x, -3a²b, 5

2. Polinomio: Expresión con dos o más términos. Tienen nombres específicos según la cantidad de términos:

   · Binomio: 2 términos (ej: 2x + y).

   · Trinomio: 3 términos (ej: x² + 2x - 1).

En resumen, una expresión algebraica es la representación simbólica de una relación numérica donde intervienen valores conocidos (constantes y coeficientes) y valores desconocidos (variables), unidos por operaciones matemáticas. Son la base para formular ecuaciones, funciones y modelos matemáticos que nos permiten resolver problemas.

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Info Moliínt

18.1. Algebra: Conceptos Básicos

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Álgebra: Conceptos Básicos

El álgebra es una rama fundamental de las matemáticas que extiende la aritmética al introducir variables o letras para representar números. Esta adición permite resolver problemas más complejos y describir relaciones generales entre cantidades. Es, en esencia, un lenguaje que nos ayuda a modelar y entender el mundo de forma más abstracta y poderosa.

¿Por qué es importante el Álgebra?

El álgebra no es solo para matemáticos. Es una herramienta esencial en campos como la ciencia, la ingeniería, la economía, la informática y muchas otras disciplinas. Nos permite:

• Generalizar patrones: En lugar de resolver un problema para un número específico, podemos crear una fórmula que funcione para cualquier número.

• Resolver incógnitas: Determinar el valor de cantidades desconocidas en diversas situaciones.

• Modelar situaciones reales: Traducir problemas del mundo real a ecuaciones matemáticas para analizarlos y encontrar soluciones.

• Desarrollar el pensamiento lógico: Fortalece nuestras habilidades de resolución de problemas y razonamiento abstracto.

Conceptos Fundamentales del Álgebra

Aquí te presento los pilares sobre los que se construye el álgebra:

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1. Variables y Constantes

• Variables: Son símbolos, generalmente letras (como x,y,z,a,b), que representan un valor desconocido o un valor que puede cambiar. Piensa en ellas como "marcadores de posición" para números.

  • Ejemplo: En la expresión $2x+5$, x es una variable.

• Constantes: Son valores fijos que no cambian. Son números que tienen un valor definido por sí mismos.

  • Ejemplo: En $2x+5$, 2 y 5 son constantes.

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2. Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de variables, constantes y operaciones matemáticas (suma, resta, multiplicación, división). No contiene un signo de igualdad (=).

• Término: Cada parte de una expresión separada por un signo de suma o resta. Un término puede ser una constante, una variable, o el producto de una constante y una variable (o varias variables).

  • Ejemplo: En $3x^2-4y+7$:

    • 3x2 es un término.

    • −4y es un término.

    • 7 es un término.

• Coeficiente: El factor numérico que multiplica a una variable en un término.

  • Ejemplo: En 3x2, 3 es el coeficiente de x2. En −4y, −4 es el coeficiente de y.

• Términos semejantes: Son términos que tienen las mismas variables elevadas a las mismas potencias. Se pueden sumar o restar entre sí.

  • Ejemplo: 5x y −2x son términos semejantes. 3x2y y 7x2y son términos semejantes. 4x y 4x2 NO son semejantes.

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3. Ecuaciones

Una ecuación es una afirmación matemática que establece que dos expresiones son iguales. Siempre contiene un signo de igualdad (=). El objetivo principal al trabajar con ecuaciones es encontrar el valor (o valores) de la variable que hace que la igualdad sea verdadera.

• Miembros de una ecuación: Las dos expresiones a cada lado del signo de igualdad se llaman miembros de la ecuación.

  • Ejemplo: En $2x+5=11$:

    • $2x+5$ es el primer miembro.

    • 11 es el segundo miembro.

• Solución de una ecuación: El valor de la variable que, al sustituirla en la ecuación, hace que ambos miembros sean iguales.

  • Ejemplo: Para 2x+5=11, si sustituimos x=3:

    2(3)+5=6+5=11. Como 11=11, x=3 es la solución.

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4. Operaciones Algebraicas

Las operaciones básicas en álgebra son las mismas que en aritmética, pero aplicadas a expresiones con variables:

• Suma y Resta: Solo se pueden sumar o restar términos semejantes.

  • Ejemplo: $5x+3x=8x$

  • Ejemplo: $7y-2y=5y$

• Multiplicación: Se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes de las variables iguales.

  • Ejemplo: $(3x)(4y)=12xy$

  • Ejemplo: $(2x^2)(5x^3)=10x^{(2+3)}=10x^5$

• División: Se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las variables iguales.

  • Ejemplo: $\frac{10x^3}{2x}=5x^{(3-1)}=5x^2$

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5. Propiedades de la Igualdad

Para resolver ecuaciones, usamos propiedades que nos permiten manipular la ecuación sin alterar su solución:

• Propiedad de la suma/resta: Si sumas o restas la misma cantidad a ambos lados de una ecuación, la igualdad se mantiene.

  • Si $a=b$, entonces $a+c=b+c$ y $a-c=b-c$.

• Propiedad de la multiplicación/división: Si multiplicas o divides ambos lados de una ecuación por la misma cantidad (distinta de cero), la igualdad se mantiene.

  • Si $a=b$, entonces $ac=bc$ y $a/c=b/c$ (si $c\ne 0$).

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Del Lenguaje Cotidiano al Algebraico

Una habilidad clave en álgebra es traducir problemas verbales a expresiones y ecuaciones matemáticas.

• "Un número aumentado en cinco": $x+5$

• "El doble de un número": 2x

• "La mitad de un número": x/2 o 21​x

• "El triple de un número menos siete es igual a catorce": $3x-7=14$

El álgebra es un viaje que comienza con estos conceptos básicos y se expande a sistemas más complejos. Dominarlos es la clave para desbloquear un vasto mundo de posibilidades matemáticas.

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